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By Manfred Dobrowolski

ISBN-10: 3540253955

ISBN-13: 9783540253952

In diesem Lehrbuch werden die Methoden der Funktionalanalysis mit ihren Anwendungen in der Theorie elliptischer Differentialgleichungen behandelt. Gleichzeitig werden dem Leser die analytischen und funktionalanalytischen S?tze n?her gebracht, die f?r die numerische Approximation elliptischer (und anderer) Differentialgleichungen bedeutsam sind. Neben dem klassischen Stoff der linearen Funktionalanalysis werden daher ausf?hrlich die Sobolevschen Funktionenr?ume (auch von negativer und gebrochener Ordnung) sowie die Existenz- und Regularit?tstheorie elliptischer Differentialgleichungen behandelt. Besonderer Wert wird auf die Umsetzung der Funktionalanalysis gelegt, additionally der Anwendung der abstrakten Theorie auf den konkreten Fall. Dies geschieht durch eine Vielzahl von Anwendungsbeispielen. Zahlreiche sorgf?ltig ausgew?hlte und kommentierte Aufgaben runden die Darstellung ab.

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Example text

Dann sind ¨ aquivalent: (a) T ist stetig. (b) T ist im Nullpunkt stetig. (c) Zu jedem j ∈ J existieren eine endliche Indexmenge I0 ⊂ I und eine Konstante K mit qj (T x) ≤ K max pi (x) ∀x ∈ X. i∈I0 ¨ Beweis. Die Aquivalenz von (a) und (b) folgt aus der Additivit¨ at von T und der Stetigkeit der Translation. 5) max pi (x) < r ⇒ qj (T x) < 1 ∀x ∈ X. 5 Bidualraum und schwache Topologien 51 Schr¨anken wir dies auf maxi∈I0 pi (x) = ε < r ein, so folgt die behauptete Absch¨atzung mit K = ε−1 f¨ ur diese x.

Ur Sei nun Y vollst¨ andig und (Tk )k∈ eine Cauchy-Folge in L(X, Y ). F¨ jedes x ∈ X ist auch (Tk x) eine Cauchy-Folge in Y und hat einen Grenzwert, den wir T (x) nennen. Wir m¨ ussen zeigen, daß die so gewonnene Abbildung T linear und stetig ist. Die Linearit¨at folgt aus der punktweisen Konvergenz der Tk x, ✁ T (x + y) = lim Tk (x + y) = lim(Tk x + Tk y) = T (x) + T (y), T (αx) = lim Tk (αx) = lim αTk (x) = αT (x). aßig Als Cauchy-Folge sind die Normen der Tk durch eine Konstante K gleichm¨ beschr¨ankt und es gilt Tx = lim Tk x Y Y ≤K x X.

Da jedes nichtkonstante lineare Funktional eine offene Abbildung ist, also die Bilder offener Mengen offen sind, ist F (A) offen in . Als γ nehmen wir den rechten Endpunkt in F (A). ⊔ ⊓ Die folgende einfache Variante des Trennungsprinzips ist ebenfalls sehr n¨ utzlich. 14. Sei M ein abgeschlossener Unterraum des Banach-Raums X und x1 ∈ / M. Dann gibt es ein F ∈ X ′ mit F X ′ = 1, F = 0 auf M und F (x1 ) = dist (x1 , M ) > 0. Beweis. Auf M1 = M ⊕ span {x1 } definieren wir das lineare Funktional ur alle y ∈ M und α ∈ f (y + αx1 ) = α dist (x1 , M ) f¨ Da f¨ ur jedes y ∈ M und α = 0 dist (x1 , M ) ≤ x1 + gilt, folgt ☎ .

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Angewandte Funktionalanalysis: Funktionalanalysis, Sobolev-Räume und elliptische Differentialgleichungen German by Manfred Dobrowolski


by Donald
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